Упр.500 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Вычислить, не используя калькулятор:
1) $$2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$$;
2) $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$$;
3) $$\frac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 15^\circ}$$;
4) $$(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ)^2$$.
Используем формулы двойного угла:
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha,$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha,$$
$$\tg 2\alpha = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$
$$2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2\cdot 15^\circ)=\sin 30^\circ=\frac12.$$
$$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos(2\cdot 15^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$\frac{2\tg 15^\circ}{1-\tg^2 15^\circ}=\tg(2\cdot 15^\circ)=\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$\begin{aligned} (\cos 75^\circ-\sin 75^\circ)^2&=\cos^2 75^\circ-2\cos 75^\circ\sin 75^\circ+\sin^2 75^\circ\\ &=\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ-\sin 150^\circ\\ &=1-\sin 150^\circ\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$$
Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; 3) $$\frac{1}{\sqrt3}$$; 4) $$\frac12$$.
