Упр.500 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

500
1) 2 sin 15° * cos 15°;
2) cos2 15° — sin2 15°;
3) 2tg15°/(1-tg2 15°);
4) (cos 75° — sin 75°)2.

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin \alpha \cos \alpha=\sin 2\alpha$$

   Тогда

   $$2\sin 15^\circ \cos 15^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$

2. Используем формулу двойного угла:

   $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha$$

   Тогда

   $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Используем формулу двойного угла для тангенса:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}$$

   Тогда

   $$\frac{2\tg 15^\circ}{1-\tg^2 15^\circ}=\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

4. Раскроем квадрат разности:

   $$\left(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ\right)^2=\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ-2\cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

   Так как $$\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ=1$$, а $$2\cos 75^\circ \sin 75^\circ=\sin 150^\circ$$, получаем:

   $$\left(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ\right)^2=1-\sin 150^\circ=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Ответ

1) $$\frac{1}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$; 4) $$\frac{1}{2}$$.