Упр.497 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos 6х cos 5х + sin 6х sin 5х = -1;
2) sin Зх cos 5х — sin 5х cos Зх = -1;
3) корень 2 cos(пи/4 + x) — cosx =1;
4) корень 2 sin(пи/4 — x/2) + sinx/2 =1.

1. $$\cos 6x \cos 5x+\sin 6x \sin 5x=-1$$

   По формуле $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ получаем:

   $$\cos(6x-5x)=-1$$

   $$\cos x=-1$$

   Отсюда

   $$x=\pi+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

2. $$\sin 3x \cos 5x-\sin 5x \cos 3x=-1$$

   По формуле $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$$ имеем:

   $$\sin(3x-5x)=-1$$

   $$\sin(-2x)=-1$$

   $$-\sin 2x=-1$$

   $$\sin 2x=1$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

3. $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos x=1$$

   Раскроем косинус суммы:

   $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=1$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем:

   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\cos x=1$$

   $$\cos x-\sin x-\cos x=1$$

   $$-\sin x=1$$

   $$\sin x=-1$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

4. $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

   Раскроем синус разности:

   $$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

   Подставим $$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}:$$

   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

   $$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=1$$

   $$\cos\frac{x}{2}=1$$

   Значит,

   $$\frac{x}{2}=2\pi k,\ k\in \mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=4\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

4) $$x=4\pi k,\ k\in \mathbb Z$$