Упр.492 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Доказать тождества:
1) $$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}=\frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b};$$
2) $$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\frac{\operatorname{ctg}a\operatorname{ctg}b+1}{\operatorname{ctg}a\operatorname{ctg}b-1};$$
3) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a-\sin a);$$
4) $$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\sin b}=\operatorname{ctg}b-\operatorname{tg}a;$$
5) $$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr);$$
6) $$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr).$$

Подробный ответ

1) $$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos a\cos b$$:

$$\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}=\frac{\tg a+\tg b}{\tg a-\tg b}.$$

Тождество доказано.

2) $$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\sin a\sin b$$:

$$\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot\frac{\cos b}{\sin b}+1}{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot\frac{\cos b}{\sin b}-1}=\frac{\ctg a\cdot\ctg b+1}{\ctg a\cdot\ctg b-1}.$$

Тождество доказано.

3) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\cos a-\sin a).$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{\cos(a+b)}{\cos a\sin b}=\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\sin b}$$

$$=\frac{\cos b}{\sin b}-\frac{\sin a}{\cos a}=\ctg b-\tg a.$$

Тождество доказано.

5) $$\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr)$$

$$=\frac12\bigl((\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\bigr)$$

$$=\frac12\cdot 2\cos a\cos b=\cos a\cos b.$$

Тождество доказано.