Упр.491 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   
   1) $$\cos(a-b)-\cos(a+b)$$;
   
   2) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\frac{1}{2}\sin 2a$$;
   
   3) $$\cos 3a+\sin a\sin 2a$$;
   
   4) $$\cos 2a-\cos a\cos 3a$$.

1) $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\sin\beta.$$

Ответ: $$2\sin\alpha\sin\beta.$$

2) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha$$

$$=\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha-\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right)\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha$$

$$=\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha$$

$$=\frac12(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+\frac12\sin^2\alpha=\frac12\cos^2\alpha.$$

Ответ: $$\frac12\cos^2\alpha.$$

3) $$\cos 3\alpha+\sin\alpha\sin 2\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)+\sin\alpha\sin 2\alpha$$

$$=\cos\alpha\cos 2\alpha-\sin\alpha\sin 2\alpha+\sin\alpha\sin 2\alpha=\cos\alpha\cos 2\alpha.$$

Ответ: $$\cos\alpha\cos 2\alpha.$$

4) $$\cos 2\alpha-\cos\alpha\cos 3\alpha=\cos 2\alpha-\bigl(\cos\alpha\cos 3\alpha+\sin\alpha\sin 3\alpha\bigr)+\sin\alpha\sin 3\alpha$$

$$=\cos 2\alpha-\cos(3\alpha-\alpha)+\sin\alpha\sin 3\alpha=\cos 2\alpha-\cos 2\alpha+\sin\alpha\sin 3\alpha=\sin\alpha\sin 3\alpha.$$

Ответ: $$\sin\alpha\sin 3\alpha.$$