Упр.490 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить $$\tan(a+b)$$, если $$\sin a=\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\frac{\pi}{2}

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}

$$\sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b}=-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17}.$$

Используем формулу:

$$\tg(a+b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}.$$

Подставим значения:

$$\tg(a+b)=\frac{\frac45\cdot\frac{8}{17}+\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)}{\left(-\frac35\right)\cdot\frac{8}{17}-\frac45\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)}$$

$$=\frac{\frac{32}{85}+\frac{45}{85}}{-\frac{24}{85}+\frac{60}{85}}=\frac{\frac{77}{85}}{\frac{36}{85}}=\frac{77}{36}=2\frac{5}{36}.$$

Ответ

$$2\frac{5}{36}$$