Упр.486 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right)$$, если $$\cos a=-\frac{3}{5}$$ и $$\pi

1) Так как $$\cos a=-\frac{3}{5}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в III четверти, значит $$\sin a<0$$.

Найдём $$\sin a$$:

$$\sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a}=-\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right)=\sin a\cos\frac{\pi}{6}+\cos a\sin\frac{\pi}{6}$$

$$=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{10}-\frac{3}{10}=-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}.$$

2) Так как $$\sin a=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит $$\cos a<0$$.

Найдём $$\cos a$$:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{2}{9}}=-\sqrt{\frac{7}{9}}=-\frac{\sqrt{7}}{3}.$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a-\cos\frac{\pi}{4}\sin a$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{14}}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{\sqrt{14}+2}{6}.$$

Ответ

1) $$-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$$; 2) $$-\frac{\sqrt{14}+2}{6}$$.