Упр.483 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$, если $$\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$0

1) Так как $$\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в I четверти, значит $$\cos a>0$$.

Найдём $$\cos a$$:

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}.$$

2) Так как $$\cos a=-\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит $$\sin a>0$$.

Найдём $$\sin a$$:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Тогда

$$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{4}+\sin a\sin\frac{\pi}{4}$$

$$=-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3}=\frac{4-\sqrt{2}}{6}.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$$; 2) $$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$$.