Упр.483 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos(пи/3 + a), если sina=1/корень 3 и 0 < a < пи/2; 1) cos(a- пи/4), если cosa=-1/3 и пи/2 < a < пи.

1. Найдём $$\cos a$$ по формуле $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$:

   $$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

   Так как $$0<a<\frac{\pi}{2}$$, то $$\cos a>0$$.

   Теперь используем формулу суммы:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a.$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}.$$

2. Найдём $$\sin a$$ по формуле $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$:

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

   Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi$$, то $$\sin a>0$$.

   Используем формулу разности:

   $$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{4}+\sin a\sin\frac{\pi}{4}.$$

   $$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3} =\frac{4-\sqrt{2}}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2}$$; 2) $$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$$.