Упр.480 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\sin(-x)=1$$;
2. $$\cos(-2x)=0$$;
3. $$\cos(-2x)=1$$;
4. $$\sin(-2x)=0$$;
5. $$\cos^2(-x)+\sin(-x)=2-\sin^2 x$$;
6. $$1-\sin^2(-x)+\cos(4\pi-x)\cos(x-2\pi)$$.

1. $$\sin(-x)=1$$

   Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем

   $$-\sin x=1,$$

   $$\sin x=-1.$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\cos(-2x)=0$$

   Так как $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ имеем

   $$\cos 2x=0.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\cos(-2x)=1$$

   Так как $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ получаем

   $$\cos 2x=1.$$

   Следовательно,

   $$2x=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

   значит

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\sin(-2x)=0$$

   Так как $$\sin(-2x)=-\sin 2x,$$ имеем

   $$-\sin 2x=0,$$

   то есть

   $$\sin 2x=0.$$

   Тогда

   $$2x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

5. $$\cos^2(-x)+\sin(-x)=2-\sin^2 x$$

   Так как $$\cos(-x)=\cos x$$ и $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем

   $$\cos^2 x-\sin x=2-\sin^2 x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$1-\sin^2 x-\sin x=2-\sin^2 x,$$

   $$1-\sin x=2,$$

   $$\sin x=-1.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

6. $$1-\sin^2(-x)+\cos(4\pi-x)=\cos(x-2\pi)$$

   Используем формулы:

   $$\sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(4\pi-x)=\cos x,\quad \cos(x-2\pi)=\cos x.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$1-\sin^2 x+\cos x=\cos x,$$

   откуда

   $$1-\sin^2 x=0,$$

   $$\sin^2 x=1,$$

   $$\sin x=\pm 1.$$

   Значит,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$