Упр.478 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   
   1) $$\frac{\sin^3(-a)+\cos^3(-a)}{1-\sin(-a)\cos(-a)}$$;
   
   2) $$\frac{(1-\sin a+\cos(-a))^2}{-\sin(-a)}$$.

1) Используем формулы $$\sin(-a)=-\sin a$$ и $$\cos(-a)=\cos a$$:

$$\frac{\sin^3(-a)+\cos^3(-a)}{1-\sin(-a)\cos(-a)} = \frac{-\sin^3 a+\cos^3 a}{1+\sin a\cos a}$$

Разложим числитель на множители:

$$-\sin^3 a+\cos^3 a=\cos^3 a-\sin^3 a=(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\cos a\sin a+\sin^2 a)$$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1$$, то

$$(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\cos a\sin a+\sin^2 a) =(\cos a-\sin a)(1+\sin a\cos a)$$

Тогда

$$\frac{(\cos a-\sin a)(1+\sin a\cos a)}{1+\sin a\cos a} =\cos a-\sin a$$

2) Снова используем формулу $$\cos(-a)=\cos a$$ и $$\sin(-a)=-\sin a$$:

$$\frac{1-(\sin a+\cos(-a))^2}{-\sin(-a)} = \frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a}$$

Раскроем квадрат в числителе:

$$1-(\sin a+\cos a)^2 = 1-(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)$$

$$=1-(1+2\sin a\cos a)=-2\sin a\cos a$$

Тогда

$$\frac{-2\sin a\cos a}{\sin a}=-2\cos a$$

Ответ

1) $$\cos a-\sin a$$; 2) $$-2\cos a$$.