Упр.477 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1) $$\frac{2+\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$$

Используем чётность и нечётность тригонометрических функций:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$\frac{2+\sin^2\frac{\pi}{6}+\cos^2\frac{\pi}{3}}{2\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{2+\frac14+\frac14}{2\cdot\frac12-\frac12}=\frac{\frac52}{\frac12}=5.$$

Ответ: $$5$$

2) $$\sqrt{3}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)-2\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)+4\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)$$

Преобразуем значения функций:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\ctg\frac{\pi}{4}=-1,$$

$$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

Подставим:

$$\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-2\cdot(-1)+4\cdot 0=-\frac{3}{2}+2=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$