Упр.474 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Решить уравнение:
1) $$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$;
2) $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$;
3) $$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$;
4) $$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$.
1) $$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем
$$2\sin x+1=1,$$
$$2\sin x=0,$$
$$\sin x=0.$$
Тогда
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$
Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0,$$
$$\cos^2 x=0,$$
$$\cos x=0.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
3) $$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$
Преобразуем правую часть:
$$3\cos^2 x-2\sin x=3(1-\sin^2 x).$$
Тогда
$$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x,$$
$$3(\cos^2 x+\sin^2 x)-2\sin x=3,$$
$$3-2\sin x=3,$$
$$\sin x=0.$$
Значит,
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4) $$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$
Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся тождеством $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x+1+2\sin^2 x=0,$$
$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x+1=0,$$
$$1-2\sin x+1=0,$$
$$2-2\sin x=0,$$
$$\sin x=1.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; 3) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
