Упр.474 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) 2 sin х + sin2 х + cos2 x = 1;
2) 2 sin2 x + 3 cos2 x — 2 = 0;
3) 3 cos2 x — 2 sin x = 3 — 3 sin2 x;
4) cos2 x — sin2 x = 2 sinx — 1 — 2 sin2 x.
$$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем:
$$2\sin x+1=1$$
$$2\sin x=0$$
$$\sin x=0$$Тогда
$$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$$$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos^2 x-2=0$$
$$\cos^2 x=0$$
$$\cos x=0$$Значит,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$$$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ имеем:
$$3(1-\sin^2 x)-2\sin x=3-3\sin^2 x$$
$$-2\sin x=0$$
$$\sin x=0$$Следовательно,
$$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$$$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$
Перенесём всё в одну сторону и используем $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$:
$$\cos^2 x+\sin^2 x=2\sin x-1$$
$$1=2\sin x-1$$
$$2\sin x=2$$
$$\sin x=1$$Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z$$;
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$;
3) $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb Z$$.
