Упр.472 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти значение выражения $$\cos^3 a-\sin^3 a$$, если $$\cos a-\sin a=0{,}2$$.

Используем формулу разности кубов:

$$\cos^3 a-\sin^3 a=(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\cos a\sin a+\sin^2 a).$$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ то

$$\cos^3 a-\sin^3 a=(\cos a-\sin a)\bigl(1+\cos a\sin a\bigr).$$

Найдём $$\cos a\sin a$$ из условия $$\cos a-\sin a=0{,}2=\frac15.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(\cos a-\sin a\right)^2=\cos^2 a-2\cos a\sin a+\sin^2 a=1-2\cos a\sin a.$$

Тогда

$$\frac{1}{25}=1-2\cos a\sin a,$$

$$2\cos a\sin a=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25},$$

$$\cos a\sin a=\frac{12}{25}.$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\cos^3 a-\sin^3 a=\frac15\left(1+\frac{12}{25}\right)=\frac15\cdot\frac{37}{25}=\frac{37}{125}.$$

Ответ

$$\frac{37}{125}$$