Упр.470 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Доказать тождество:
1) $$(1-\cos 2a)(1+\cos 2a)=\sin^2 2a;$$
2) $$\frac{\sin a-1}{\cos^2 a}=-\frac{1}{1+\sin a};$$
3) $$\cos^4 a-\sin^4 a=\cos^2 a-\sin^2 a;$$
4) $$(\sin^2 a-\cos^2 a)^2+2\cos^2 a\sin^2 a=\sin^4 a+\cos^4 a;$$
5) $$\frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{1+\cos a}{\sin a}=\frac{2}{\sin a};$$
6) $$\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{1+\cos a}{\sin a};$$
7) $$\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 a}+\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 a}=1;$$
8) $$\operatorname{tg}^2 a-\sin^2 a=\operatorname{tg}^2 a\sin^2 a.$$
1) $$\left(1-\cos 2a\right)\left(1+\cos 2a\right)=1-\cos^2 2a=\sin^2 2a.$$
Тождество доказано.
2) $$\frac{\sin a-1}{\cos^2 a}=\frac{\sin a-1}{1-\sin^2 a}=\frac{\sin a-1}{(1-\sin a)(1+\sin a)}=-\frac{1}{1+\sin a}.$$
Тождество доказано.
3) $$\cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)=\cos^2 a-\sin^2 a.$$
Тождество доказано.
4) $$\left(\sin^2 a-\cos^2 a\right)^2+2\cos^2 a\sin^2 a$$
$$=\sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a+2\sin^2 a\cos^2 a=\sin^4 a+\cos^4 a.$$
Тождество доказано.
5) $$\frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{1+\cos a}{\sin a}=\frac{\sin^2 a+(1+\cos a)^2}{(1+\cos a)\sin a}$$
$$=\frac{\sin^2 a+1+2\cos a+\cos^2 a}{(1+\cos a)\sin a}=\frac{2+2\cos a}{(1+\cos a)\sin a}=\frac{2}{\sin a}.$$
Тождество доказано.
6) $$\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{\sin a(1+\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)}=\frac{\sin a(1+\cos a)}{1-\cos^2 a}=\frac{1+\cos a}{\sin a}.$$
Тождество доказано.
7) $$\frac{1}{1+\tg^2 a}+\frac{1}{1+\ctg^2 a}=\cos^2 a+\sin^2 a=1.$$
Тождество доказано.
8) $$\tg^2 a-\sin^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a=\sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)$$
$$=\sin^2 a\cdot\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\sin^2 a\cdot\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a\cdot\sin^2 a.$$
Тождество доказано.
