Упр.470 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) (1 — cos 2а) (1 + cos 2а) = sin2 2а;
2) (sina-1)/cos2a = -1/(1+sina)
3) cos4 а — sin4 а = cos2 а — sin2 а;
4) (sin2 а — cos2 а)2 + 2 cos2 а sin2 а = sin4 а + cos4 а;
5) sina/(1+cosa) + (1+ cos а)/ sina = 2/sina;
6) sina/(1-cosa) = (1+cosa) / sina;
7) 1/(1+tg2a) + 1/(1+ctg2a) =1;
8) tg2 а — sin2 а = tg2 a sin2 a.
$$\begin{aligned} (1-\cos 2a)(1+\cos 2a) &= 1-\cos^2 2a \\ &= \sin^2 2a. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \frac{\sin a-1}{\cos^2 a} &= \frac{\sin a-1}{1-\sin^2 a} \\ &= \frac{\sin a-1}{(1-\sin a)(1+\sin a)} \\ &= -\frac{1}{1+\sin a}. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \cos^4 a-\sin^4 a &= (\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a) \\ &= \cos^2 a-\sin^2 a. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} (\sin^2 a-\cos^2 a)^2+2\cos^2 a\sin^2 a &= \sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a+2\sin^2 a\cos^2 a \\ &= \sin^4 a+\cos^4 a. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{1+\cos a}{\sin a} &= \frac{\sin^2 a+(1+\cos a)^2}{(1+\cos a)\sin a} \\ &= \frac{\sin^2 a+1+2\cos a+\cos^2 a}{(1+\cos a)\sin a} \\ &= \frac{2+2\cos a}{(1+\cos a)\sin a} \\ &= \frac{2}{\sin a}. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \frac{\sin a}{1-\cos a} &= \frac{\sin a(1+\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)} \\ &= \frac{\sin a(1+\cos a)}{1-\cos^2 a} \\ &= \frac{\sin a(1+\cos a)}{\sin^2 a} \\ &= \frac{1+\cos a}{\sin a}. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \frac{1}{1+\tg^2 a}+\frac{1}{1+\ctg^2 a} &= \cos^2 a+\sin^2 a \\ &= 1. \end{aligned}$$
Тождество доказано.$$\begin{aligned} \tg^2 a-\sin^2 a &= \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a \\ &= \sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right) \\ &= \sin^2 a\cdot \frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a} \\ &= \sin^2 a\cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \\ &= \tg^2 a\cdot \sin^2 a. \end{aligned}$$
Тождество доказано.
Ответ
Все восемь тождеств верны.
