Упр.469 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   
   1) $$\left(1+\operatorname{tg}^2 a\right)\cos^2 a-1$$;
   
   2) $$1-\sin^2 a\left(1+\operatorname{ctg} a\right)$$;
   
   3) $$1+\operatorname{tg}^2 a+\frac{1}{\sin^2 a}$$;
   
   4) $$\frac{1+\operatorname{tg}^2 a}{1+\operatorname{ctg}^2 a}$$.

1) $$\left(1+\tg^2 a\right)\cos^2 a-1=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\cos^2 a}\cos^2 a-1=1-1=0.$$

Ответ: $$0$$

2) $$1-\sin^2 a\left(1+\ctg^2 a\right)=1-\sin^2 a\cdot\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}=1-1=0.$$

Ответ: $$0$$

3) $$1+\tg^2 a+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}$$

4) $$\frac{1+\tg^2 a}{1+\ctg^2 a}=\frac{1+\tg^2 a}{1+\frac{1}{\tg^2 a}}=\frac{1+\tg^2 a}{\frac{1+\tg^2 a}{\tg^2 a}}=\tg^2 a.$$

Ответ: $$\tg^2 a$$