Упр.467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Упростить выражение и найти его значение:
1) $$\frac{\sin^2\alpha-1}{1-\cos^2\alpha}$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{4}$$;
2) $$\cos^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha+\sin^2\alpha$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{6}$$;
3) $$\frac{1}{\cos^2\alpha}-1$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{3}$$;
4) $$\cos^2\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha\operatorname{ctg}^2\alpha+\sin^2\alpha$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{3}$$.
1) $$\frac{\sin^2 a-1}{1-\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a-(\sin^2 a+\cos^2 a)}{(\sin^2 a+\cos^2 a)-\cos^2 a}=\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}=-\ctg^2 a.$$
При $$a=\frac{\pi}{4}$$ получаем:
$$-\ctg^2\frac{\pi}{4}=-1^2=-1.$$
2) $$\cos^2 a+\ctg^2 a+\sin^2 a=1+\ctg^2 a.$$
При $$a=\frac{\pi}{6}$$:
$$1+\ctg^2\frac{\pi}{6}=1+(\sqrt{3})^2=1+3=4.$$
3) $$\frac{1}{\cos^2 a}-1=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$
При $$a=\frac{\pi}{3}$$:
$$\tg^2\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^2=3.$$
4) $$\cos^2 a+\tg^2 a\cdot \ctg^2 a+\sin^2 a=1+\tg^2 a\cdot \ctg^2 a=1+1=2.$$
Это значение не зависит от $$a$$, значит при $$a=\frac{\pi}{3}$$ оно также равно $$2$$.
Ответ: 1) $$-1$$; 2) $$4$$; 3) $$3$$; 4) $$2$$.
