Упр.465 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1. $$(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=\sin^2\alpha$$;
2. $$(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=\cos^2\alpha$$;
3. $$\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}=\tan^2\alpha$$;
4. $$\frac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\cot^2\alpha$$;
5. $$\frac{1}{1+\tan^2\alpha}+\sin^2\alpha=1$$;
6. $$\frac{1}{1+\cot^2\alpha}+\cos^2\alpha=1$$.

1) $$\left(1-\cos^2 a\right)\left(1+\cos^2 a\right)=1-\cos^4 a$$

Используем основное тригонометрическое тождество $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$:

$$\left(1-\cos^2 a\right)\left(1+\cos^2 a\right)=\sin^2 a.$$

Тождество доказано.

2) $$\left(1-\sin^2 a\right)\left(1+\sin^2 a\right)=1-\sin^4 a$$

Так как $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$, получаем:

$$\left(1-\sin^2 a\right)\left(1+\sin^2 a\right)=\cos^2 a.$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{\sin^2 a}{1-\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2=\tg^2 a.$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{\cos^2 a}{1-\cos^2 a}=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}=\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2=\ctg^2 a.$$

Тождество доказано.

5) $$\frac{1}{1+\tg^2 a}+\sin^2 a=1.$$

Так как $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$$, то

$$\frac{1}{1+\tg^2 a}=\cos^2 a.$$

Тогда

$$\cos^2 a+\sin^2 a=1.$$

Тождество доказано.

6) $$\frac{1}{1+\ctg^2 a}+\cos^2 a=1.$$

Так как $$1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}$$, то

$$\frac{1}{1+\ctg^2 a}=\sin^2 a.$$

Тогда

$$\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

Тождество доказано.