Упр.464 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\sin a+\cos a=$$. Найти: 1) $$\sin a\cdot\cos a$$; 2) $$\sin3a+\cos3a$$.

Пусть $$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac12.$$

Ход решения

1) Найдём $$\sin \alpha\cdot \cos \alpha.$$ Используем формулу:

$$(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2 \alpha+2\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha.$$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ то

$$\left(\frac12\right)^2=1+2\sin \alpha\cos \alpha.$$

Отсюда

$$2\sin \alpha\cos \alpha=\frac14-1=-\frac34,$$

$$\sin \alpha\cos \alpha=-\frac38.$$

2) Найдём $$\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha.$$ Используем формулу суммы кубов:

$$\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)\bigl(\sin^2 \alpha-\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha\bigr).$$

Тогда

$$\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=\frac12\bigl(1-\sin \alpha\cos \alpha\bigr).$$

Подставим найденное значение:

$$\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=\frac12\left(1- \left(-\frac38\right)\right) =\frac12\cdot \frac{11}{8} =\frac{11}{16}.$$

Ответ

$$\sin \alpha\cos \alpha=-\frac38,\qquad \sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=\frac{11}{16}.$$