Упр.463 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\tan a=2$$. Найти значение выражения:
   
   1) $$\frac{\cot a+\tan a}{\cot a-\tan a}$$;
   
   2) $$\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}$$;
   
   3) $$\frac{2\sin a+3\cos a}{3\sin a-5\cos a}$$;
   
   4) $$\frac{\sin^2 a+2\cos^2 a}{\sin^2 a-\cos^2 a}$$.

Пусть $$\tg \alpha = 2.$$ Тогда $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{1}{2}.$$

Ход решения

1. $$\frac{\ctg \alpha + \tg \alpha}{\ctg \alpha — \tg \alpha} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} — 2} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{5}{3}.$$

2. $$\frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — 1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1} = \frac{\tg \alpha — 1}{\tg \alpha + 1} = \frac{2 — 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}.$$

3. $$\frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{3\sin \alpha — 5\cos \alpha} = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 3}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — 5} = \frac{2\tg \alpha + 3}{3\tg \alpha — 5} = \frac{2\cdot 2 + 3}{3\cdot 2 — 5} = 7.$$

4. $$\frac{\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} — 1} = \frac{\tg^2 \alpha + 2}{\tg^2 \alpha — 1} = \frac{2^2 + 2}{2^2 — 1} = 2.$$

Ответ

$$1)\ -\frac{5}{3};\quad 2)\ \frac{1}{3};\quad 3)\ 7;\quad 4)\ 2.$$