Упр.460 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Какие значения может принимать:

1. $$\cos a$$, если $$\sin a=\frac{2\sqrt{3}}{5}$$;

   $$\sin a$$, если $$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$;

   $$\sin a$$, если $$\cos a=\frac{2}{3}$$;

   $$\cos a$$, если $$\sin a=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$?

1) Используем тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$ Тогда

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\frac{12}{25}}=\pm\sqrt{\frac{13}{25}}=\pm\frac{\sqrt{13}}{5}.$$

2) Аналогично

$$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\frac15}=\pm\sqrt{\frac45}=\pm\frac{2}{\sqrt5}.$$

3) Тогда

$$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\pm\sqrt{1-\frac49}=\pm\sqrt{\frac59}=\pm\frac{\sqrt5}{3}.$$

4) Имеем

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}=\pm\sqrt{1-\frac13}=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3}.$$

Ответ: 1) $$\pm\frac{\sqrt{13}}{5}$$; 2) $$\pm\frac{2}{\sqrt5}$$; 3) $$\pm\frac{\sqrt5}{3}$$; 4) $$\pm\frac{\sqrt6}{3}$$.