Упр.459 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- По значению одной из тригонометрических функций ($$\sin a$$, $$\cos a$$, $$\operatorname{tg} a$$, $$\operatorname{ctg} a$$) найти значения остальных трёх:
1) $$\cos a=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{3\pi}{2}
$$\cos a=\frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Точка лежит в IV четверти, значит $$\sin a<0.$$ Тогда
$$\sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}.$$
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-12/13}{5/13} =-\frac{12}{5}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{5}{12}.$$
$$\sin a=0{,}8, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$
Точка лежит во II четверти, значит $$\cos a<0.$$ Тогда
$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-0{,}8^2} =-\sqrt{0{,}36} =-0{,}6=-\frac{3}{5}.$$
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{0{,}8}{-0{,}6} =-\frac{4}{3}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{3}{4}.$$
$$\tg a=\frac{15}{8}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$
Точка лежит в III четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0.$$ Тогда
$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}} =-\frac{8}{17}.$$
$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{15}{8}\cdot\left(-\frac{8}{17}\right) =-\frac{15}{17}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{8}{15}.$$
$$\ctg a=-3, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Точка лежит в IV четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a>0.$$ Тогда
$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=-\frac{1}{3}.$$
$$\cos a=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^2}} =\frac{3}{\sqrt{10}},$$
$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
$$\cos a=0{,}8, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$
Точка лежит в I четверти, значит все тригонометрические функции положительны. Тогда
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} =\sqrt{1-0{,}8^2} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6=\frac{3}{5}.$$
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{3/5}{4/5} =\frac{3}{4}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =\frac{4}{3}.$$
$$\sin a=-\frac{5}{13}, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$
Точка лежит в IV четверти, значит $$\cos a>0.$$ Тогда
$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a} =\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-5/13}{12/13} =-\frac{5}{12}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{12}{5}.$$
$$\tg a=-2{,}4, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$
Точка лежит во II четверти, значит $$\sin a>0$$ и $$\cos a<0.$$ Представим
$$\tg a=-2{,}4=-\frac{12}{5}.$$
Тогда
$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{12}{5}\right)^2}} =-\frac{5}{13},$$
$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =-\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right) =\frac{12}{13}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a} =-\frac{5}{12}.$$
$$\ctg a=\frac{7}{24}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$
Точка лежит в III четверти, значит $$\sin a<0$$ и $$\cos a<0.$$ Тогда
$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=\frac{24}{7}.$$
$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =-\frac{7}{25},$$
$$\sin a=\tg a\cdot \cos a =\frac{24}{7}\cdot\left(-\frac{7}{25}\right) =-\frac{24}{25}.$$
Ответ:
1) $$\sin a=-\frac{12}{13}, \ \tg a=-\frac{12}{5}, \ \ctg a=-\frac{5}{12};$$
2) $$\cos a=-\frac{3}{5}, \ \tg a=-\frac{4}{3}, \ \ctg a=-\frac{3}{4};$$
3) $$\cos a=-\frac{8}{17}, \ \sin a=-\frac{15}{17}, \ \ctg a=\frac{8}{15};$$
4) $$\sin a=-\frac{1}{\sqrt{10}}, \ \cos a=\frac{3}{\sqrt{10}}, \ \tg a=-\frac{1}{3};$$
5) $$\sin a=\frac{3}{5}, \ \tg a=\frac{3}{4}, \ \ctg a=\frac{4}{3};$$
6) $$\cos a=\frac{12}{13}, \ \tg a=-\frac{5}{12}, \ \ctg a=-\frac{12}{5};$$
7) $$\cos a=-\frac{5}{13}, \ \sin a=\frac{12}{13}, \ \ctg a=-\frac{5}{12};$$
8) $$\tg a=\frac{24}{7}, \ \sin a=-\frac{24}{25}, \ \cos a=-\frac{7}{25}.$$
