Упр.454 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение: 1) $$\sin(5\pi+x)=1$$; 2) $$\cos(x+3\pi)=0$$; 3) $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-1$$; 4) $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=-1$$.

1. $$\sin(5\pi+x)=1$$

   Для синуса значение $$1$$ достигается при

   $$5\pi+x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}-5\pi+2\pi k=-\frac{9\pi}{2}+2\pi k.$$

2. $$\cos(x+3\pi)=0$$

   Для косинуса значение $$0$$ достигается при

   $$x+3\pi=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}-3\pi+\pi k=-\frac{5\pi}{2}+\pi k.$$

3. $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-1$$

   Для косинуса значение $$-1$$ достигается при

   $$\frac{5\pi}{2}+x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$x=\pi-\frac{5\pi}{2}+2\pi k=-\frac{3\pi}{2}+2\pi k.$$

4. $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=-1$$

   Для синуса значение $$-1$$ достигается при

   $$\frac{9\pi}{2}+x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}-\frac{9\pi}{2}+2\pi k=-5\pi+2\pi k.$$

Ответ: $$1)\ x=-\frac{9\pi}{2}+2\pi k;\quad 2)\ x=-\frac{5\pi}{2}+\pi k;\quad 3)\ x=-\frac{3\pi}{2}+2\pi k;\quad 4)\ x=-5\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$