Упр.439 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение: 1) $$\sin x=-1$$; 2) $$\cos x=-1$$; 3) $$\sin 3x=0$$; 4) $$\cos 0{,}5x=0$$; 5) $$\sin\left((x+2)+\frac{2\pi}{3}\right)=1$$; 6) $$\cos\left(5x+\frac{4\pi}{5}\right)=1$$.

1. $$\sin x=-1$$

   Синус равен $$-1$$ при

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos x=-1$$

   Косинус равен $$-1$$ при

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin 3x=0$$

   Синус равен нулю, когда аргумент кратен $$\pi$$:

   $$3x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos \frac{x}{2}=0$$

   Косинус равен нулю при

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{2\pi}{3}\right)=1$$

   Синус равен $$1$$ при

   $$\frac{x}{2}+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}+2\pi k=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,$$

   $$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos\left(5x+\frac{4\pi}{5}\right)=1$$

   Косинус равен $$1$$ при

   $$5x+\frac{4\pi}{5}=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$5x=2\pi k-\frac{4\pi}{5},$$

   $$x=-\frac{4\pi}{25}+\frac{2\pi k}{5},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

2) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z$$

4) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

5) $$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

6) $$x=-\frac{4\pi}{25}+\frac{2\pi k}{5},\ k\in\mathbb Z$$