Упр.422 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти координаты точки, полученной поворотом точки $$P(1; 0)$$ на угол ($$k$$ — целое число): 1) $$\frac{\pi}{2}\pm\pi$$; 2) $$\frac{\pi}{4}\pm\pi$$; 3) $$-\frac{3\pi}{2}+\pi k$$; 4) $$-\pi+\pi k$$.

Точка $$P(1;0)$$ лежит на единичной окружности. При повороте на угол $$\alpha$$ её координаты равны $$\bigl(\cos \alpha;\sin \alpha\bigr)$$.

1. $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

   При чётных $$k$$ получаем угол $$\frac{\pi}{2}$$, при нечётных — угол $$-\frac{\pi}{2}$$. В обоих случаях точка переходит в одну из точек:

   $$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right).$$

2. $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

   С учётом периодичности поворота получаем угол $$\frac{3\pi}{4}$$ или $$-\frac{3\pi}{4}$$. Координаты соответствующей точки на единичной окружности:

   $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

3. $$\alpha=-\frac{3\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

   Если $$k$$ чётное, то угол равен $$-\frac{3\pi}{2}$$, что эквивалентно повороту на $$\frac{\pi}{2}$$ против часовой стрелки:

   $$\left(0;1\right).$$

   Если $$k$$ нечётное, то угол равен $$-\frac{\pi}{2}$$, то есть поворот на $$\frac{\pi}{2}$$ по часовой стрелке:

   $$\left(0;-1\right).$$

4. $$\alpha=-\pi+\pi k$$, $$k\in \mathbb{Z}$$.

   Если $$k$$ чётное, то угол кратен $$2\pi$$, значит точка остаётся на месте:

   $$\left(1;0\right).$$

   Если $$k$$ нечётное, то угол эквивалентен $$\pi$$, и точка переходит в противоположную:

   $$\left(-1;0\right).$$

Ответ: 1) $$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right)$$; 2) $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$; 3) $$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right)$$; 4) $$\left(1;0\right),\ \left(-1;0\right)$$.