Упр.416 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $$(1; 0)$$ на угол:

1. 1) $$4\pi$$; 2) $$-\frac{3\pi}{2}$$; 3) $$-6{,}5\pi$$; 4) $$\frac{\pi}{4}$$; 5) $$\frac{\pi}{3}$$; 6) $$-45$$.

1) $$4\pi=2\cdot 2\pi,$$ значит, после полного числа оборотов точка вернётся в исходное положение:

$$(1;0).$$

2) $$-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-2\pi,$$ то есть поворот на $$\frac{\pi}{2}$$ против часовой стрелки:

$$(0;1).$$

3) $$-6{,}5\pi=-\frac{13\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}-6\pi,$$ значит, это поворот на $$\frac{\pi}{2}$$ по часовой стрелке:

$$(0;-1).$$

4) $$\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$ На единичной окружности:

$$x=y,\quad x^2+y^2=1.$$

Тогда

$$2x^2=1,\quad x^2=\frac12,\quad x=\frac{\sqrt2}{2},\quad y=\frac{\sqrt2}{2}.$$

$$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

5) $$\frac{\pi}{3}=60^\circ.$$ На единичной окружности:

$$x=\frac12,\quad x^2+y^2=1.$$

Тогда

$$\frac14+y^2=1,\quad y^2=\frac34,\quad y=\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

6) $$-45^\circ=-\frac{\pi}{4}.$$ На единичной окружности:

$$x=|y|,\quad x>0,\ y<0.$$

Из уравнения окружности

$$x^2+y^2=1$$

получаем

$$2x^2=1,\quad x=\frac{\sqrt2}{2},\quad y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

$$\left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Ответ

1) $$(1;0)$$; 2) $$(0;1)$$; 3) $$(0;-1)$$; 4) $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)$$; 5) $$\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$$; 6) $$\left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$