Упр.406 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство.

Пусть $$t=\log_a x.$$ Тогда исходное неравенство принимает вид

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}<-\frac{3}{2}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t^2+1}+\frac{3}{2}<0,$$

$$\frac{2(t^2+1)+2(t-1)+3(t-1)(t^2+1)}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

После упрощения получаем

$$\frac{3t^2+5t-3}{2(t-1)(t^2+1)}<0.$$

Так как $$t^2+1>0$$ при всех $$t,$$ знак дроби определяется выражением

$$\frac{3t^2+5t-3}{t-1}<0.$$

Найдём корни числителя:

$$3t^2+5t-3=0,$$

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-3)=61,$$

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{61}}{6}.$$

Критические точки: $$\frac{-5-\sqrt{61}}{6},\ \frac{-5+\sqrt{61}}{6},\ 1.$$

Исследование знаков даёт

$$t\in\left(\frac{-5-\sqrt{61}}{6},\frac{-5+\sqrt{61}}{6}\right)\cup(1,+\infty).$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{-5-\sqrt{61}}{6}<\log_a x<\frac{-5+\sqrt{61}}{6}$$

или

$$\log_a x>1.$$

Отсюда

при $$a>1$$

$$a^{\frac{-5-\sqrt{61}}{6}}<x<a^{\frac{-5+\sqrt{61}}{6}} \quad \text{или} \quad x>a,$$

при $$0<a<1$$

$$a^{\frac{-5+\sqrt{61}}{6}}<x<a^{\frac{-5-\sqrt{61}}{6}} \quad \text{или} \quad 0<x<a.$$

Ответ

При $$a>1$$: $$x\in\left(a^{\frac{-5-\sqrt{61}}{6}},\,a^{\frac{-5+\sqrt{61}}{6}}\right)\cup(a,+\infty).$$

При $$0<a<1$$: $$x\in\left(a^{\frac{-5+\sqrt{61}}{6}},\,a^{\frac{-5-\sqrt{61}}{6}}\right)\cup(0,a).$$