Упр.405 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 406. Решить уравнение $$\log_2 x \cdot \log_2 (x-3)+1=\log_2(x^2-3x)$$.

ОДЗ: $$x>0,\quad x-3>0,\quad x^2-3x>0.$$

Из первых двух условий получаем $$x>3.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_2 x\cdot \log_2(x-3)+1=\log_2(x^2-3x)$$

Так как $$x^2-3x=x(x-3),$$ то

$$\log_2 x\cdot \log_2(x-3)+1=\log_2 x+\log_2(x-3).$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\log_2 x\cdot \log_2(x-3)-\log_2 x-\log_2(x-3)+1=0$$

$$\bigl(\log_2 x-1\bigr)\bigl(\log_2(x-3)-1\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$\log_2 x-1=0 \quad \text{или} \quad \log_2(x-3)-1=0.$$

1) $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$ но это не подходит, так как $$x>3.$$

2) $$\log_2(x-3)=1 \Rightarrow x-3=2 \Rightarrow x=5,$$ и это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $$5$$.