Упр.403 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{2}(2x-5)-\log_{2}(2x-2)=2-x$$
2. $$\log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x)$$
3. $$\log_{2}(2x+1)\cdot\log_{2}\left(2^{x+1}+2\right)=2$$
4. $$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$

1. $$\log_2(2^x-5)-\log_2(2^x-2)=2-x$$

   Область определения:

   $$2^x-5>0,\quad 2^x-2>0$$

   Отсюда $$2^x>5$$, то есть $$x>\log_2 5$$.

   Преобразуем уравнение:

   $$\log_2\frac{2^x-5}{2^x-2}=2-x=\log_2 2^{\,2-x}$$

   Тогда

   $$\frac{2^x-5}{2^x-2}=2^{2-x}=\frac{4}{2^x}$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда

   $$\frac{t-5}{t-2}=\frac{4}{t}$$

   $$t(t-5)=4(t-2)$$

   $$t^2-9t+8=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-8\right)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=8$$

   С учётом ОДЗ $$t=2^x>5$$ подходит только $$t=8$$.

   $$2^x=8=2^3,\quad x=3$$

2. $$\log_{1-x}(3-x)=\log_{3-x}(1-x)$$

   Пусть

   $$a=1-x,\quad b=3-x$$

   Тогда уравнение имеет вид

   $$\log_a b=\log_b a$$

   Но

   $$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$$

   Следовательно,

   $$\log_a b=\frac{1}{\log_a b}$$

   $$\left(\log_a b\right)^2=1$$

   $$\log_a b=\pm 1$$

   1) $$\log_{1-x}(3-x)=1$$, тогда

   $$3-x=1-x$$

   Получаем противоречие: $$3=1$$.

   2) $$\log_{1-x}(3-x)=-1$$, тогда

   $$3-x=(1-x)^{-1}$$

   $$(3-x)(1-x)=1$$

   $$x^2-4x+2=0$$

   $$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt2$$

   Проверка ОДЗ: $$1-x>0,\;1-x\ne1,\;3-x>0,\;3-x\ne1$$, то есть $$x<1,\;x\ne0$$.

   Подходит только $$x=2-\sqrt2$$.

3. $$\log_2(2^x+1)\cdot \log_2(2^{x+1}+2)=2$$

   Так как

   $$2^{x+1}+2=2(2^x+1),$$

   то

   $$\log_2(2^{x+1}+2)=1+\log_2(2^x+1)$$

   Положим

   $$t=\log_2(2^x+1)$$

   Тогда

   $$t(t+1)=2$$

   $$t^2+t-2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=-2$$

   1) $$\log_2(2^x+1)=1$$, значит

   $$2^x+1=2,\quad 2^x=1,\quad x=0$$

   2) $$\log_2(2^x+1)=-2$$, значит

   $$2^x+1=\frac14$$

   Это невозможно, так как $$2^x+1>1$$.

4. $$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$

   Положим

   $$t=\log_{3x+7}(5x+3)$$

   Тогда

   $$\log_{5x+3}(3x+7)=\frac{1}{t}$$

   Получаем уравнение

   $$t=2-\frac{1}{t}$$

   $$t^2-2t+1=0$$

   $$\left(t-1\right)^2=0$$

   $$t=1$$

   Тогда

   $$\log_{3x+7}(5x+3)=1$$

   $$5x+3=3x+7$$

   $$2x=4,\quad x=2$$

   Проверка ОДЗ: $$3x+7>0,\;3x+7\ne1,\;5x+3>0,\;5x+3\ne1$$. При $$x=2$$ все условия выполняются.

Ответ

1) $$x=3$$; 2) $$x=2-\sqrt2$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=2$$.