Упр.402 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3+2\log_{x+1}(3)=2\log_{3}(x+1)$$
2. $$1+2\log_{x+2}(5)=\log_{5}(x+2)$$

1) Рассмотрим уравнение $$3+2\log_{x+1}3=2\log_3(x+1).$$

Положим $$y=\log_3(x+1).$$ Тогда

$$\log_{x+1}3=\frac{1}{\log_3(x+1)}=\frac{1}{y}.$$

Получаем:

$$3+\frac{2}{y}=2y.$$

Умножим на $$y$$:

$$3y+2=2y^2,$$

$$2y^2-3y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Тогда

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3(x+1)=2 \Rightarrow x+1=3^2=9 \Rightarrow x=8,$$

$$\log_3(x+1)=-\frac12 \Rightarrow x+1=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt3}-1.$$

Оба значения удовлетворяют области определения $$x+1>0$$.

2) Рассмотрим уравнение $$1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2).$$

Положим $$y=\log_5(x+2).$$ Тогда

$$\log_{x+2}5=\frac{1}{\log_5(x+2)}=\frac{1}{y}.$$

Получаем:

$$1+\frac{2}{y}=y.$$

Умножим на $$y$$:

$$y+2=y^2,$$

$$y^2-y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Тогда

$$y_1=2,\qquad y_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_5(x+2)=2 \Rightarrow x+2=5^2=25 \Rightarrow x=23,$$

$$\log_5(x+2)=-1 \Rightarrow x+2=5^{-1}=\frac15 \Rightarrow x=-\frac95.$$

Оба значения удовлетворяют области определения $$x+2>0$$.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{\sqrt3}-1,\; 8.$$
2) $$x=-\frac95,\; 23.$$