Упр.402 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1 + 2 logx + 2(5) = log5 (x + 2).

1. $$3+2\log_{x+1}3=2\log_3(x+1)$$

   Пусть $$t=\log_3(x+1)$$. Тогда

   $$\log_{x+1}3=\frac{1}{\log_3(x+1)}=\frac{1}{t}.$$

   Получаем уравнение

   $$3+\frac{2}{t}=2t.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t+2=2t^2$$

   $$2t^2-3t-2=0.$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25.$$

   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4},$$

   откуда

   $$t_1=2,\qquad t_2=-\frac12.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_3(x+1)=2 \Rightarrow x+1=3^2=9 \Rightarrow x=8,$$

   $$\log_3(x+1)=-\frac12 \Rightarrow x+1=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt3}-1.$$

   Область определения: $$x+1>0,$$ то есть $$x>-1.$$ Оба найденных значения ей удовлетворяют.

2. $$1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$$

   Пусть $$t=\log_5(x+2)$$. Тогда

   $$\log_{x+2}5=\frac{1}{\log_5(x+2)}=\frac{1}{t}.$$

   Получаем

   $$1+\frac{2}{t}=t.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t+2=t^2$$

   $$t^2-t-2=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9.$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2},$$

   откуда

   $$t_1=2,\qquad t_2=-1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_5(x+2)=2 \Rightarrow x+2=5^2=25 \Rightarrow x=23,$$

   $$\log_5(x+2)=-1 \Rightarrow x+2=5^{-1}=\frac15 \Rightarrow x=-\frac95.$$

   Область определения: $$x+2>0,$$ то есть $$x>-2.$$ Оба найденных значения ей удовлетворяют.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{\sqrt3}-1,\ 8.$$

2) $$x=-\frac95,\ 23.$$