Упр.401 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

401. Решить уравнение:
     
     1) $$x\lg 9+9\lg x=6$$;
     
     2) $$x^{3\lg^3(x)-\frac{2}{3}\lg x}=100\sqrt[3]{10}$$.

1) $$x^{\lg 9}+9^{\lg x}=6$$

Используем свойства логарифмов:

$$x^{\lg 9}=x^{\frac{\lg 9}{\lg 10}}=x^{\log_{10}9}$$

Удобнее переписать оба слагаемых через $$\lg x$$:

$$x^{\lg 9}=(10^{\lg x})^{\lg 9}=10^{\lg x\cdot \lg 9}, \qquad 9^{\lg x}=(10^{\lg 9})^{\lg x}=10^{\lg 9\cdot \lg x}.$$

Тогда оба слагаемых равны, и получаем:

$$2\cdot 9^{\lg x}=6,$$

$$9^{\lg x}=3.$$

Переходим к логарифму:

$$\lg x=\log_9 3=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=10^{1/2}=\sqrt{10}.$$

2) $$x^{3(\lg x)^2-\frac23\lg x}=100\sqrt[3]{10}$$

Возьмём логарифм по основанию $$10$$:

$$\left(3(\lg x)^2-\frac23\lg x\right)\lg x=\lg\left(100\sqrt[3]{10}\right).$$

Так как $$\lg\left(100\sqrt[3]{10}\right)=\lg\left(10^2\cdot 10^{1/3}\right)=\lg\left(10^{7/3}\right)=\frac73,$$

получаем:

$$3(\lg x)^3-\frac23(\lg x)^2=\frac73.$$

Сделаем замену $$t=\lg x$$. Тогда

$$3t^3-\frac23t^2=\frac73.$$

Умножим на $$3$$:

$$9t^3-2t^2-7=0.$$

Проверим целые корни: $$t=1$$ подходит:

$$9-2-7=0.$$

Тогда

$$9t^3-2t^2-7=(t-1)(9t^2+7t+7).$$

Квадратное уравнение $$9t^2+7t+7=0$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=7^2-4\cdot 9\cdot 7=49-252<0.$$

Значит, $$t=1$$, то есть

$$\lg x=1,$$

откуда

$$x=10.$$

Ответ

1) $$x=\sqrt{10}$$; 2) $$x=10$$.