Упр.400 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции: 1) $$y=\frac{1}{\log_2 x}$$; 2) $$y=\frac{1}{\ln x}$$.

1) Для функции $$y=\frac{1}{\log_2 x}$$

Область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Множество значений: $$y\ne 0.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ функция убывает на каждом из промежутков $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;+\infty\right).$$

Найдём несколько точек:

$$x=2 \Rightarrow y=\frac{1}{\log_2 2}=1,$$

$$x=\frac12 \Rightarrow y=\frac{1}{\log_2 \frac12}=-1.$$

При $$x\to 1-$$ и $$x\to 1+$$ значение $$y$$ стремится к бесконечности по модулю, поэтому прямая $$x=1$$ — вертикальная асимптота. При $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0,$$ значит, прямая $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

График состоит из двух ветвей: одна расположена в I четверти, другая — в III четверти.

2) Для функции $$y=\frac{1}{\ln x}$$

Область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Множество значений: $$y\ne 0.$$

Так как $$e>1,$$ функция убывает на каждом из промежутков $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;+\infty\right).$$

Найдём несколько точек:

$$x=e \Rightarrow y=\frac{1}{\ln e}=1,$$

$$x=\frac1e \Rightarrow y=\frac{1}{\ln \frac1e}=-1.$$

При $$x\to 1-$$ и $$x\to 1+$$ значение $$y$$ неограниченно возрастает по модулю, поэтому прямая $$x=1$$ — вертикальная асимптота. При $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0,$$ значит, прямая $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

График также состоит из двух ветвей: в I и III четвертях.

Ответ

Графики функций $$y=\frac{1}{\log_2 x}$$ и $$y=\frac{1}{\ln x}$$ имеют область определения $$x>0,\ x\ne 1,$$ множество значений $$y\ne 0,$$ вертикальную асимптоту $$x=1$$ и горизонтальную асимптоту $$y=0.$$