Упр.399 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.
Пусть $$a,\; aq,\; aq^2$$ — три последовательных члена геометрической прогрессии.
Тогда по условию
$$a+aq+aq^2=62,$$
а сумма десятичных логарифмов равна $$3$$:
$$\lg a+\lg (aq)+\lg (aq^2)=3.$$
Сложим логарифмы:
$$\lg a+\lg (aq)+\lg (aq^2)=\lg\bigl(a\cdot aq\cdot aq^2\bigr)=\lg(a^3q^3)=3,$$
откуда
$$\lg\bigl((aq)^3\bigr)=3,$$
$$3\lg(aq)=3,$$
$$\lg(aq)=1,$$
$$aq=10.$$
Тогда $$a=\dfrac{10}{q}$$, и из первого уравнения получаем:
$$\frac{10}{q}(1+q+q^2)=62,$$
$$10+10q+10q^2=62q,$$
$$10q^2-52q+10=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=52^2-4\cdot 10\cdot 10=2704-400=2304,$$
$$\sqrt D=48,$$
$$q_{1,2}=\frac{52\pm 48}{20}.$$
Получаем:
$$q_1=5,\qquad q_2=\frac15.$$
Если $$q=5,$$ то
$$a=\frac{10}{5}=2,$$
и члены прогрессии:
$$2,\;10,\;50.$$
Если $$q=\frac15,$$ то
$$a=\frac{10}{1/5}=50,$$
и члены прогрессии:
$$50,\;10,\;2.$$
Следовательно, искомые три последовательных члена геометрической прогрессии: $$2,\;10,\;50.$$
Ответ: $$2,\;10,\;50.$$
