Упр.398 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ — геометрическая прогрессия из положительных чисел. Тогда для её знаменателя $$q$$ имеем

$$a_{n+1}=a_nq.$$

Рассмотрим последовательность логарифмов по одному и тому же основанию $$b$$:

$$\log_b a_1,\ \log_b a_2,\ \log_b a_3,\ \ldots$$

Найдём разность двух соседних членов:

$$\log_b a_{n+1}-\log_b a_n=\log_b(a_nq)-\log_b a_n.$$

По свойству логарифмов

$$\log_b(a_nq)=\log_b a_n+\log_b q,$$

значит

$$\log_b a_{n+1}-\log_b a_n=\log_b q.$$

Разность соседних членов постоянна, следовательно, последовательность $$\log_b a_1,\log_b a_2,\log_b a_3,\ldots$$ является арифметической прогрессией.

Ответ: логарифмы членов геометрической прогрессии по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.