Упр.398 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 398 Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 398 1111

Пусть $$a_1, a_2, \ldots$$ — геометрическая прогрессия из положительных чисел. Тогда для её знаменателя $$q$$ имеем

$$a_{n+1}=a_n q.$$

Рассмотрим последовательность логарифмов по одному и тому же основанию $$b$$:

$$\log_b a_1,\ \log_b a_2,\ \ldots$$

Найдём разность двух соседних членов:

$$ \log_b a_{n+1}-\log_b a_n = \log_b(a_n q)-\log_b a_n = \log_b a_n+\log_b q-\log_b a_n = \log_b q. $$

Разность соседних членов постоянна и не зависит от $$n$$. Значит, последовательность $$\log_b a_1,\ \log_b a_2,\ \ldots$$ является арифметической прогрессией.

Ответ

Логарифмы членов геометрической прогрессии по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию, так как разность соседних логарифмов равна $$\log_b q$$ и постоянна.