Упр.397 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) logx(3) < = 4(+log1/3(x)).

Подробный ответ

Решим неравенство $$4\log_4 x-33\log_x 4\le 1.$$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_x 4=\frac{1}{\log_4 x}.$$
Тогда при $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем:
$$4\log_4 x-\frac{33}{\log_4 x}-1\le 0.$$
Положим $$y=\log_4 x$$. Тогда
$$4y-\frac{33}{y}-1\le 0,$$
$$\frac{4y^2-y-33}{y}\le 0.$$
Найдём корни числителя:
$$D=1+4\cdot 4\cdot 33=529,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 23}{8},$$
откуда
$$y_1=-\frac{11}{4},\qquad y_2=3.$$
Тогда
$$\frac{(4y-11)(y+3)}{y}\le 0.$$
По методу интервалов получаем:
$$y\le -\frac{11}{4}\quad \text{или}\quad 0<y\le 3.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:
$$\log_4 x\le -\frac{11}{4}\quad \Rightarrow\quad 0<x\le 4^{-11/4},$$
$$0<\log_4 x\le 3\quad \Rightarrow\quad 1<x\le 64.$$
Решим неравенство $$\log_x 3\le 4\left(1+\log_{1/3}x\right).$$
Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$
Так как $$\log_{1/3}x=-\log_3 x,$$ а $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x},$$ то
$$\frac{1}{\log_3 x}\le 4\left(1-\log_3 x\right).$$
Положим $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$\frac{1}{y}\le 4(1-y),$$
$$\frac{1-4y+4y^2}{y}\le 0,$$
$$\frac{(2y-1)^2}{y}\le 0.$$
Числитель неотрицателен, значит неравенство выполняется, когда
$$y<0\quad \text{или}\quad y=\frac12.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$\log_3 x<0 \Rightarrow 0<x<1,$$
$$\log_3 x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt3.$$