Упр.397 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\log(x)-33\log_x(4)\leq 1$$
2. $$\log_x(3)\leq 4(+\log_{\frac{1}{3}}(x))$$

1) Рассмотрим неравенство $$4\log_4 x-33\log_x 4\le 1.$$

Область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Положим $$t=\log_4 x.$$ Тогда $$\log_x 4=\frac{1}{\log_4 x}=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

$$4t-\frac{33}{t}\le 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4t^2-t-33}{t}\le 0.$$

Найдём корни числителя:

$$4t^2-t-33=0,$$

$$D=1+528=529,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 23}{8}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac{11}{4},\quad t_2=3.$$

Решаем неравенство методом интервалов:

$$\frac{(t+\frac{11}{4})(t-3)}{t}\le 0.$$

С учётом знаков получаем:

$$t\le -\frac{11}{4}\quad \text{или}\quad 0<t\le 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_4 x\le -\frac{11}{4}\quad \Rightarrow\quad 0<x\le 4^{-11/4},$$

$$0<\log_4 x\le 3\quad \Rightarrow\quad 1<x\le 64.$$

Итак,

$$0<x\le 4^{-11/4}\quad \text{или}\quad 1<x\le 64.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_x 3\le 4\left(1+\log_{1/3}x\right).$$

Область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x},\qquad \log_{1/3}x=-\log_3 x.$$

Тогда

$$\frac{1}{\log_3 x}\le 4(1-\log_3 x).$$

Положим $$t=\log_3 x.$$ Получаем:

$$\frac{1}{t}\le 4(1-t),$$

$$\frac{1-4t+4t^2}{t}\le 0,$$

$$\frac{(2t-1)^2}{t}\le 0.$$

Числитель неотрицателен при любых $$t$$, значит неравенство выполняется при

$$t<0\quad \text{или}\quad t=\frac12.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\log_3 x<0\quad \Rightarrow\quad 0<x<1,$$

$$\log_3 x=\frac12\quad \Rightarrow\quad x=\sqrt3.$$

Следовательно,

$$0<x<1\quad \text{или}\quad x=\sqrt3.$$

Ответ

1) $$0<x\le 4^{-11/4}$$ или $$1<x\le 64$$.

2) $$0<x<1$$ или $$x=\sqrt3$$.