Упр.396 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 396. Решить неравенство:
   1. $$\log_{\sqrt{6}}(x-4)+\log_{\sqrt{6}}(x+1)\leq 2$$;
   2. $$\log_{3\sqrt{2}}(x-5)+\log_{3\sqrt{2}}(x+12)\leq 2$$;
   3. $$\log_{3}(8x^2+x)>2+\log_{3}(x^2)+\log_{3}x$$;
   4. $$\log_{2}x+\log_{2}(x-3)>\log_{2}4$$;
   5. $$\log_{\frac{1}{5}}(x-10)-\log_{\frac{1}{5}}(x+2)\geq -1$$;
   6. $$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+10)+\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+4)>-2$$.

1) $$\log_{\sqrt6}(x-4)+\log_{\sqrt6}(x+1)\le 2$$

$$\log_{\sqrt6}\bigl((x-4)(x+1)\bigr)\le \log_{\sqrt6}6$$

Так как $$\sqrt6>1,$$ получаем:

$$\begin{aligned} (x-4)(x+1)<=6,\\ x-4&>0,\\ x+1&>0. \end{aligned}$$

$$x^2-3x-4\le 6$$

$$x^2-3x-10\le 0$$

$$\begin{aligned} (x-5)(x+2)&\le 0,\\ -2&\le x\le 5. \end{aligned}$$

С учётом ОДЗ $$x>4$$ получаем:

$$4<x\le 5.$$

2) $$\log_{3\sqrt2}(x-5)+\log_{3\sqrt2}(x+12)\le 2$$

$$\log_{3\sqrt2}\bigl((x-5)(x+12)\bigr)\le \log_{3\sqrt2}18$$

Так как $$3\sqrt2>1,$$ имеем:

$$\begin{aligned} (x-5)(x+12)<=18,\\ x-5&>0,\\ x+12&>0. \end{aligned}$$

$$x^2+7x-60\le 18$$

$$x^2+7x-78\le 0$$

$$\begin{aligned} (x+13)(x-6)&\le 0,\\ -13&\le x\le 6. \end{aligned}$$

С учётом ОДЗ $$x>5$$ получаем:

$$5<x\le 6.$$

3) $$\log_3(8x^2+x)>2+\log_3x^2+\log_3x$$

$$2=\log_3 9,$$ поэтому

$$\log_3(8x^2+x)>\log_3(9x^3)$$

Так как $$3>1,$$ имеем:

$$\begin{aligned} 8x^2+x&>9x^3,\\ 8x^2+x&>0. \end{aligned}$$

$$9x^3-8x^2-x<0$$

$$x(9x^2-8x-1)<0$$

$$\begin{aligned} x&>0,\\ (9x+1)(x-1)<0. \end{aligned}$$

Отсюда с учётом ОДЗ получаем:

$$0<x<1.$$

4) $$\log_2x+\log_2(x-3)>\log_24$$

$$\log_2\bigl(x(x-3)\bigr)>\log_24$$

Так как $$2>1,$$ имеем:

$$\begin{aligned} x(x-3)>4,\\ x&>0,\\ x-3&>0. \end{aligned}$$

$$x^2-3x-4>0$$

$$\begin{aligned} (x-4)(x+1)>0,\\ x>4 \ \text{или}\ x<-1. \end{aligned}$$

С учётом ОДЗ $$x>3$$ получаем:

$$x>4.$$

5) $$\log_{\frac15}(x-10)-\log_{\frac15}(x+2)\ge -1$$

$$\log_{\frac15}\!\left(\frac{x-10}{x+2}\right)\ge \log_{\frac15}\!\left(\frac15\right)^{-1}$$

Так как основание $$\frac15<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\frac{x-10}{x+2}\le 5.$$

При $$x>10$$ имеем $$x+2>0,$$ значит

$$x-10\le 5x+10$$

$$x\ge -5.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x>10.$$

6) $$\log_{\frac1{\sqrt7}}(x+10)+\log_{\frac1{\sqrt7}}(x+4)>-2$$

$$\log_{\frac1{\sqrt7}}\bigl((x+10)(x+4)\bigr)>\log_{\frac1{\sqrt7}}7$$

Так как $$\frac1{\sqrt7}<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\begin{aligned} (x+10)(x+4)<7,\\ x+10&>0,\\ x+4&>0. \end{aligned}$$

$$x^2+14x+40<7$$

$$x^2+14x+33<0$$

$$\begin{aligned} (x+11)(x+3)<0,\\ -11<x<-3. \end{aligned}$$

С учётом ОДЗ $$x>-4$$ получаем:

$$-4<x<-3.$$