Упр.395 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 395.

1. $$\log_2 \frac{2}{x-1}=\log_2 x$$

   Так как основания логарифмов равны, то при выполнении ОДЗ получаем:

   $$\frac{2}{x-1}=x$$

   $$2=x(x-1)$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad x_2=\frac{1+3}{2}=2$$

   Проверим ОДЗ:

   $$\frac{2}{x-1}>0,\quad x>0$$

   Отсюда $$x>1$$. Подходит только $$x=2$$.

2. $$\log_{\frac12}\frac{10}{7-x}=\log_{\frac12}x$$

   Тогда

   $$\frac{10}{7-x}=x$$

   $$10=x(7-x)$$

   $$x^2-7x+10=0$$

   $$D=49-40=9$$

   $$x_1=\frac{7-3}{2}=2,\quad x_2=\frac{7+3}{2}=5$$

   Проверим ОДЗ:

   $$\frac{10}{7-x}>0,\quad x>0$$

   Отсюда $$0<x<7$$. Оба корня подходят.

3. $$\lg \frac{x+8}{x-1}=\lg x$$

   Следовательно,

   $$\frac{x+8}{x-1}=x$$

   $$x+8=x(x-1)$$

   $$x^2-2x-8=0$$

   $$D=4+32=36$$

   $$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\quad x_2=\frac{2+6}{2}=4$$

   Проверим ОДЗ:

   $$\frac{x+8}{x-1}>0,\quad x>0$$

   Из условия $$x>0$$ и $$\frac{x+8}{x-1}>0$$ получаем $$x>1$$. Подходит только $$x=4$$.

4. $$\lg \frac{x-4}{x-2}=\lg x$$

   Тогда

   $$\frac{x-4}{x-2}=x$$

   $$x-4=x(x-2)$$

   $$x^2-3x+4=0$$

   $$D=9-16=-7$$

   Действительных корней нет, значит уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=2,\,5$$; 3) $$x=4$$; 4) решений нет.