Упр.395 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\log_2 \frac{2}{x-1}=\log_2 x$$

Так как основания логарифмов одинаковые, то при выполнении условий существования логарифмов получаем:

$$\frac{2}{x-1}=x$$

$$2=x(x-1)$$

$$x^2-x-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=2$$

Проверим ОДЗ:

$$\frac{2}{x-1}>0,\quad x>0$$

Отсюда $$x>1$$ и $$x>0$$, значит подходит только $$x=2$$.

Ответ: $$2$$

2) $$\log_{\frac12}\frac{10}{7-x}=\log_{\frac12}x$$

Тогда

$$\frac{10}{7-x}=x$$

$$10=x(7-x)$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=49-40=9$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

Проверим ОДЗ:

$$\frac{10}{7-x}>0,\quad x>0$$

Отсюда $$x<7$$ и $$x>0$$, оба корня подходят.

Ответ: $$2; 5$$

3) $$\lg \frac{x+8}{x-1}=\lg x$$

Следовательно,

$$\frac{x+8}{x-1}=x$$

$$x+8=x(x-1)$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$D=4+32=36$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}$$

$$x_1=4,\quad x_2=-2$$

Проверим ОДЗ:

$$\frac{x+8}{x-1}>0,\quad x>0$$

Из условий получаем $$x>1$$, значит подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$4$$

4) $$\lg \frac{x-4}{x-2}=\lg x$$

Тогда

$$\frac{x-4}{x-2}=x$$

$$x-4=x(x-2)$$

$$x^2-3x+4=0$$

$$D=9-16=-7$$

Действительных корней нет.

Ответ: решений нет.