Упр.393 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\sqrt{2}}(x)+4\log_{4}(x)+\log_{8}(x)=13$$
2. $$\log_{0,5}(x+2)-\log_{2}(x-3)=\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(-4x-8)$$

1) $$\log_{\sqrt{2}}x+4\log_4x+\log_8x=13$$

Приведём все логарифмы к основанию $$2$$:

$$\log_{\sqrt{2}}x=\log_{2^{1/2}}x=2\log_2x,$$

$$4\log_4x=4\cdot \frac{\log_2x}{\log_24}=4\cdot \frac{\log_2x}{2}=2\log_2x,$$

$$\log_8x=\frac{\log_2x}{\log_28}=\frac{1}{3}\log_2x.$$

Тогда

$$2\log_2x+2\log_2x+\frac13\log_2x=13,$$

$$\left(2+2+\frac13\right)\log_2x=13,$$

$$\frac{13}{3}\log_2x=13,$$

$$\log_2x=3,$$

$$x=2^3=8.$$

2) $$\log_{0,5}(x+2)-\log_2(x-3)=\frac12\log_{1/\sqrt2}(-4x-8)$$

Область определения:

$$x+2>0,\quad x-3>0,\quad -4x-8>0.$$

Отсюда получаем:

$$x>-2,\quad x>3,\quad x<-2.$$

Эти условия несовместны, значит, область определения пуста. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: 1) $$x=8$$; 2) решений нет.