Упр.388 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ справедливо неравенство: 1) $$\log_x 8 < \log_x 10$$; 2) $$\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$$?

1) Рассмотрим неравенство $$\log_x 8<\log_x 10.$$

Так как $$8<10,$$ то знак неравенства между логарифмами зависит от основания $$x$$:

• если $$x>1,$$ то функция $$y=\log_x a$$ возрастает, и из $$8<10$$ следует $$\log_x 8<\log_x 10$$;
• если $$0<x<1,$$ то функция убывает, и неравенство было бы противоположным.

Значит, $$x>1.$$

Ответ: $$x>1.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_x \frac{3}{4}<\log_x \frac{1}{2}.$$

Здесь $$\frac{3}{4}>\frac{1}{2},$$ поэтому снова учитываем монотонность логарифмической функции:

• при $$x>1$$ функция возрастает, и тогда из $$\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$$ получаем $$\log_x \frac{3}{4}>\log_x \frac{1}{2},$$ что не подходит;
• при $$0<x<1$$ функция убывает, и тогда знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $$0<x<1.$$

Ответ: $$0<x<1.$$