Упр.385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:
   1) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{3}\right)$$ и $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2}\right)$$;
   2) $$2^{2\log_{2}(5)+\log_{\frac{1}{9}}(9)}$$ и $$\sqrt{8}$$.

$$\log_{\frac12}\frac13=\log_{2^{-1}}3^{-1}=-\log_2\frac13=\log_2 3,$$

$$\log_{\frac13}\frac12=\log_{3^{-1}}2^{-1}=-\log_3\frac12=\log_3 2.$$

Так как $$3>2,$$ то $$\log_2 3>1,$$ а $$\log_3 2<1.$$ Следовательно,

$$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12.$$

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}=2^{2\log_2 5}\cdot 2^{\log_{\frac19}9}=(2^{\log_2 5})^2\cdot \left(\frac19\right)^{-1}=5^2\cdot 9=225.$$

Сравним $$225$$ и $$\sqrt{8}$$: очевидно, $$225>\sqrt{8}.$$ Значит,

$$2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}>\sqrt{8}.$$

Ответ: $$\log_{\frac12}\frac13>\log_{\frac13}\frac12; \quad 2^{2\log_2 5+\log_{\frac19}9}>\sqrt{8}.$$