Упр.383 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) lg (x2 + 2x + 2) < 1; 2) log3 (x2 + 7x - 5) > 1.

1. $$\lg(x^2+2x+2)<1$$

   Так как $$1=\lg 10$$, получаем:

   $$x^2+2x+2<10$$

   $$x^2+2x-8<0$$

   Решим квадратное уравнение $$x^2+2x-8=0$$:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=-4$$

   Тогда

   $$-4<x<2$$

   Проверим область определения:

   $$x^2+2x+2>0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=-4<0,\quad a=1>0$$

   Значит, выражение положительно при всех $$x\in\mathbb R$$.

   Следовательно, решение неравенства:

   $$-4<x<2$$

2. $$\log_3(x^2+7x-5)>1$$

   Так как $$1=\log_3 3$$ и $$3>1$$, получаем:

   $$x^2+7x-5>3$$

   $$x^2+7x-8>0$$

   Решим уравнение $$x^2+7x-8=0$$:

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=81$$

   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=-8$$

   Тогда

   $$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1$$

   Проверим область определения:

   $$x^2+7x-5>0$$

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-5)=69$$

   Корни:

   $$x=\frac{-7\pm \sqrt{69}}{2}$$

   Приблизительно:

   $$x_1\approx -7{,}6,\quad x_2\approx 0{,}6$$

   Значит, область определения:

   $$x<-7{,}6 \quad \text{или} \quad x>0{,}6$$

   Пересечение с найденным решением даёт:

   $$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1$$

Ответ

1) $$-4<x<2$$; 2) $$x<-8,\; x>1$$.