Упр.383 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\lg(x^2+2x+2)<1$$; 2) $$\log_3(x^2+7x-5)>1$$.

1) $$\lg(x^2+2x+2)<1$$

Так как $$1=\lg 10,$$ то

$$\lg(x^2+2x+2)<\lg 10.$$

При основании $$10>1$$ получаем:

$$x^2+2x+2<10,$$

$$x^2+2x-8<0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+2x-8=0$$:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2},$$

$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$

Тогда

$$-4<x<2.$$

Проверим область определения: $$x^2+2x+2>0$$ при всех $$x\in \mathbb R,$$ так как

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=-4<0.$$

Значит, решение неравенства:

$$-4<x<2.$$

2) $$\log_3(x^2+7x-5)>1$$

Так как $$1=\log_3 3,$$ а $$3>1,$$ то

$$\log_3(x^2+7x-5)>\log_3 3,$$

откуда

$$x^2+7x-5>3,$$

$$x^2+7x-8>0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+7x-8=0$$:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},$$

$$x_1=-8,\quad x_2=1.$$

Тогда

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Проверим область определения:

$$x^2+7x-5>0.$$

Корни уравнения $$x^2+7x-5=0$$:

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{69}}{2}\approx -7{,}6 \text{ и } 0{,}6.$$

Следовательно, область определения:

$$x<-7{,}6 \quad \text{или} \quad x>0{,}6.$$

Пересечение с найденным решением даёт:

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Ответ: 1) $$-4<x<2$$; 2) $$x<-8$$ или $$x>1$$.