Упр.382 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_3(5-4x)<\log_3(x-1)$$
2. $$\log_{0,3}(2x+5)\geq\log_{0,3}(x+1)$$

1) Так как основание логарифма $$3>1,$$ то функция $$\log_3 x$$ возрастает, значит

$$5-4x<x-1.$$

Решим неравенство:

$$\begin{aligned} 5-4x < x-1 \\ -5x < -6 \\ x > \frac{6}{5} \end{aligned}$$

Учтём область определения:

$$\begin{aligned} 5-4x > 0 &\Rightarrow x<\frac{5}{4},\\ x-1 > 0 &\Rightarrow x>1. \end{aligned}$$

Пересекаем условия:

$$\frac{6}{5}<x<\frac{5}{4}.$$

2) Так как основание логарифма $$0{,}3<1,$$ то функция $$\log_{0{,}3} x$$ убывает, значит

$$2x+5\le x+1.$$

Решим неравенство:

$$\begin{aligned} 2x+5 <= x+1 \\ x < -4 \end{aligned}$$

Учтём область определения:

$$\begin{aligned} 2x+5 > 0 &\Rightarrow x>-\frac{5}{2},\\ x+1 > 0 &\Rightarrow x>-1. \end{aligned}$$

Но одновременно должно выполняться $$x<-4$$ и $$x>-1,$$ что невозможно.

Ответ: 1) $$x\in\left(\frac{6}{5};\frac{5}{4}\right);$$ 2) решений нет.