Упр.381 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_2(x-5)\le 2$$
2. $$\log_3(7-x)>1$$
3. $$\log_{\frac{1}{2}}(2x+1)>-2$$
4. $$\log_{\frac{1}{2}}(3-5x)<-3$$

$$\log_2(x-5)\le 2$$

Так как $$2=\log_2 4,$$ а основание $$2>1,$$ то

$$x-5\le 4,$$

при этом область определения:

$$x-5>0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x-5\le 4,\\ x-5>0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x\le 9,\\ x>5 \end{cases}$$

Значит, $$5<x\le 9.$$

$$\log_3(7-x)>1$$

Так как $$1=\log_3 3,$$ а основание $$3>1,$$ то

$$7-x>3,$$

при этом область определения:

$$7-x>0.$$

Получаем:

$$7-x>3 \;\Rightarrow\; x<4.$$

Условие области определения даёт $$x<7,$$ что не ограничивает ответ сильнее.

Итак, $$x<4.$$

$$\log_{\frac12}(2x+1)\ge -2$$

Так как $$-2=\log_{\frac12} 4,$$ а основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

$$2x+1\le 4.$$

При этом область определения:

$$2x+1>0.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} 2x+1\le 4,\\ 2x+1>0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x\le \frac32,\\ x>-\frac12 \end{cases}$$

Следовательно, $$-\frac12<x\le \frac32.$$

$$\log_{\frac12}(3-5x)<-3$$

Так как $$-3=\log_{\frac12} 8,$$ а основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

$$3-5x>8.$$

Тогда

$$-5x>5,\qquad x<-1.$$

Проверим область определения:

$$3-5x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac35.$$

Это условие выполняется при $$x<-1.$$

Итак, $$x<-1.$$