Упр.380 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$$
2. $$\log_3(5-x)+\log_3(-1-x)=3$$
3. $$\lg(x-2)+\lg x=\lg 3$$
4. $$\log_{\sqrt{6}}(x-1)+\log_{\sqrt{6}}(x+4)=\log_{\sqrt{6}}6$$

1) $$\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$$

$$\log_2\bigl((x-2)(x-3)\bigr)=\log_2 2$$

$$(x-2)(x-3)=2$$

$$x^2-5x+6=2$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=9$$

$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$

Область допустимых значений:

$$x-2>0,\qquad x-3>0$$

$$x>3$$

Подходит только $$x=4$$.

2) $$\log_3(5-x)+\log_3(-1-x)=3$$

$$\log_3\bigl((5-x)(-1-x)\bigr)=\log_3 3^3$$

$$(5-x)(-1-x)=27$$

$$x^2-4x-5=27$$

$$x^2-4x-32=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-32)=144$$

$$x_1=\frac{4-12}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{4+12}{2}=8$$

Область допустимых значений:

$$5-x>0,\qquad -1-x>0$$

$$x<5,\qquad x<-1$$

Подходит только $$x=-4$$.

3) $$\lg(x-2)+\lg x=\lg 3$$

$$\lg\bigl(x(x-2)\bigr)=\lg 3$$

$$x(x-2)=3$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{2+4}{2}=3$$

Область допустимых значений:

$$x-2>0,\qquad x>0$$

$$x>2$$

Подходит только $$x=3$$.

4) $$\log_{\sqrt6}(x-1)+\log_{\sqrt6}(x+4)=\log_{\sqrt6}6$$

$$\log_{\sqrt6}\bigl((x-1)(x+4)\bigr)=\log_{\sqrt6}6$$

$$(x-1)(x+4)=6$$

$$x^2+3x-4=6$$

$$x^2+3x-10=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-10)=49$$

$$x_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-3+7}{2}=2$$

Область допустимых значений:

$$x-1>0,\qquad x+4>0$$

$$x>1$$

Подходит только $$x=2$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$-4$$; 3) $$3$$; 4) $$2$$.