Упр.379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-1$$
2. $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 6-\log_3 2$$
3. $$\lg^2 x-3\lg x=4$$
4. $$\log_2^2 x-5\log_2 x+6=0$$

1) $$\lg(x^2-2x)=\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac{30}{10}=\lg 3.$$

Тогда

$$x^2-2x=3,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Получаем

$$x_1=3,\quad x_2=-1.$$

Проверим ОДЗ: $$x^2-2x>0.$$ Оба корня подходят.

2) $$\log_3(2x^2+x)=\log_3 6-\log_3 2=\log_3\frac{6}{2}=\log_3 3.$$

Тогда

$$2x^2+x=3,$$

$$2x^2+x-3=0,$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

Получаем

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac{3}{2}.$$

Проверим ОДЗ: $$2x^2+x>0.$$ Оба корня подходят.

3) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y^2-3y=4,$$

$$y^2-3y-4=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$

Получаем

$$y_1=4,\quad y_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=4 \Rightarrow x=10^4=10000,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1.$$

4) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$y^2-5y+6=0,$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

Получаем

$$y_1=3,\quad y_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8,$$

$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2=4.$$

Ответ

1) $$-1;\ 3$$
2) $$-\frac{3}{2};\ 1$$
3) $$0{,}1;\ 10000$$
4) $$4;\ 8$$