Упр.374 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции:
1) $$y=\log_4(x)$$;
2) $$y=\log_{\frac{1}{4}}(x)$$.
Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях $$x$$ каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?
Для логарифмической функции $$y=\log_a x$$ при $$a>1$$ график возрастает, а при $$0<a<1$$ — убывает. Обе функции имеют область определения $$x>0$$ и проходят через точку $$\left(1,0\right)$$.
1) $$y=\log_4 x$$
Так как $$4>1$$, функция возрастает.
Найдём несколько точек для построения графика:
| $$x$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$16$$ |
|---|---|---|---|
| $$y=\log_4 x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
Следовательно, график проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,1\right)$$, $$\left(16,2\right)$$ и имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
Знаки функции:
- $$\log_4 x>0$$ при $$x>1$$;
- $$\log_4 x<0$$ при $$0<x<1$$;
- $$\log_4 x=0$$ при $$x=1$$.
2) $$y=\log_{\frac14} x$$
Так как $$0<\frac14<1$$, функция убывает.
Найдём несколько точек для построения графика:
| $$x$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$16$$ |
|---|---|---|---|
| $$y=\log_{\frac14} x$$ | $$0$$ | $$-1$$ | $$-2$$ |
График проходит через точки $$\left(1,0\right)$$, $$\left(4,-1\right)$$, $$\left(16,-2\right)$$ и также имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
Знаки функции:
- $$\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$;
- $$\log_{\frac14} x<0$$ при $$x>1$$;
- $$\log_{\frac14} x=0$$ при $$x=1$$.
Ответ
$$y=\log_4 x$$ — возрастающая функция, $$y=\log_{\frac14} x$$ — убывающая.
$$\log_4 x>0$$ при $$x>1$$, $$\log_4 x<0$$ при $$0<x<1$$, $$\log_4 x=0$$ при $$x=1$$.
$$\log_{\frac14} x>0$$ при $$0<x<1$$, $$\log_{\frac14} x<0$$ при $$x>1$$, $$\log_{\frac14} x=0$$ при $$x=1$$.
