Упр.367 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 367. 4x ((корень (16^(1-x) — 1) +2 < 4|4x-1|

Рассмотрим неравенство

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4|4^x-1|.$$

Так как $$4^x>0,$$ то сначала найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под корнем имеет смысл:

$$16^{\,1-x}-1\ge 0,$$

$$16^{\,1-x}\ge 1,$$

$$1-x\ge 0,$$

$$x\le 1.$$

Далее рассмотрим два случая.

1) $$x\ge 0$$. Тогда $$|4^x-1|=4^x-1,$$ и неравенство принимает вид

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4(4^x-1).$$

Перенесём:

$$4^x\sqrt{16^{\,1-x}-1}<2\cdot 4^x-4.$$

Так как при $$x\ge 0$$ имеем $$4^x\ge 1,$$ то можно разделить на $$4^x>0$$ и сделать замену $$t=4^x.$$ Тогда

$$t\sqrt{\frac{16}{t^2}-1}<2t-4.$$

После преобразований получаем

$$5t^2-16t>0,$$

$$t(5t-16)>0.$$

Так как $$t=4^x>0,$$ то

$$5t-16>0,$$

$$t>\frac{16}{5}.$$

Следовательно,

$$4^x>\frac{16}{5},$$

$$x&gt{\log_4\frac{16}{5}}=2-\log_4 5.$$

С учётом $$x\le 1$$ получаем

$$2-\log_4 5<x\le 1.$$

2) $$x<0$$. Тогда $$|4^x-1|=1-4^x,$$ и неравенство становится

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4(1-4^x).$$

После преобразований получаем

$$37\cdot 4^{2x}-48\cdot 4^x>0,$$

$$4^x(37\cdot 4^x-48)>0.$$

Так как $$4^x>0,$$ то

$$37\cdot 4^x-48>0,$$

$$4^x>\frac{48}{37}.$$

Но при $$x<0$$ имеем $$4^x<1,$$ а $$\frac{48}{37}>1,$$ значит, решений в этом случае нет.

Итак, остаётся только найденный промежуток.

Ответ

$$2-\log_4 5<x\le 1.$$