Упр.367 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$4^x\left(\sqrt{16^{1-x}-1}+2\right)<4\left|4^x-1\right|$$

Рассмотрим неравенство

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4|4^x-1|.$$

Так как левая часть неотрицательна, правая часть тоже должна быть положительной. Поэтому сначала рассмотрим знак выражения под модулем.

Если $$4^x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 0,$$ тогда

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4(4^x-1).$$

Перенесём $$2\cdot 4^x$$ в правую часть:

$$4^x\sqrt{16^{\,1-x}-1}<2\cdot 4^x-4.$$

При $$x\ge 0$$ имеем $$4^x>0$$, а также должно выполняться $$2\cdot 4^x-4>0,$$ то есть $$4^x>2,$$ откуда $$x>\frac12.$$

Кроме того, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$16^{\,1-x}-1\ge 0 \;\Rightarrow\; 16^{\,1-x}\ge 1 \;\Rightarrow\; x\le 1.$$

Теперь положим $$t=4^x.$$ Тогда $$16^{\,1-x}=\dfrac{16}{16^x}=\dfrac{16}{t^2},$$ и неравенство принимает вид

$$t\left(\sqrt{\frac{16}{t^2}-1}+2\right)<4(t-1).$$

После преобразований получаем

$$5t^2-16t>0,$$

то есть

$$t(5t-16)>0.$$

Так как $$t=4^x>0,$$ то

$$5t-16>0,\qquad t>\frac{16}{5}.$$

Следовательно,

$$4^x>\frac{16}{5} \;\Rightarrow\; x&gt{2-\log_4 5}.$$

Совмещая это с условием $$x\le 1,$$ получаем

$$2-\log_4 5<x\le 1.$$

Ответ: $$2-\log_4 5<x\le 1.$$