Упр.366 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 366.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{2}{3^x-1}\le \frac{7}{9^x-2}.$$

Сделаем замену:

$$t=3^x,\qquad t>0.$$

Тогда $$9^x=t^2$$, и неравенство принимает вид

$$\frac{2}{t-1}\le \frac{7}{t^2-2}.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{2(t^2-2)-7(t-1)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0,$$

$$\frac{2t^2-7t+3}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2t^2-7t+3=(2t-1)(t-3).$$

Тогда

$$\frac{(2t-1)(t-3)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Критические точки:

$$t=\frac12,\quad t=1,\quad t=\sqrt2,\quad t=3.$$

Учитывая знак выражения на промежутках и область определения, получаем:

$$\frac12\le t<1,\qquad \sqrt2<t\le 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac12\le 3^x<1,\qquad \sqrt2<3^x\le 3.$$

Так как основание $$3>1$$, логарифмируем неравенства:

$$\log_3\frac12\le x<0,$$

$$\log_3\sqrt2<x\le 1.$$

Ответ

$$x\in\left[\log_3\frac12,\,0\right)\cup\left(\log_3\sqrt2,\,1\right].$$