Упр.366 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{2}{3^x-1}\le \frac{7}{9^x-2}.$$

Сделаем замену $$t=3^x,$$ тогда $$9^x=t^2.$$ Получаем

$$\frac{2}{t-1}\le \frac{7}{t^2-2}.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{2(t^2-2)-7(t-1)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0,$$

$$\frac{2t^2-7t+3}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2t^2-7t+3=(2t-1)(t-3).$$

Тогда

$$\frac{(2t-1)(t-3)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Критические точки:

$$t=\frac12,\quad t=1,\quad t=\sqrt2,\quad t=3.$$

С учётом области определения $$t>0$$ и знаков множителей получаем:

$$t\in\left[\frac12,1\right)\cup\left(\sqrt2,3\right].$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac12\le 3^x<1 \quad \text{или} \quad \sqrt2<3^x\le 3.$$

Так как основание $$3>1,$$ имеем

$$\log_3\frac12\le x<0 \quad \text{или} \quad \log_3\sqrt2<x\le 1.$$

Так как $$\log_3\frac12=-\log_3 2,$$ окончательно:

$$x\in\left[-\log_3 2,\,0\right)\cup\left(\log_3\sqrt2,\,1\right].$$

Ответ

$$x\in\left[-\log_3 2,\,0\right)\cup\left(\log_3\sqrt2,\,1\right].$$