Упр.365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 365

1. $$\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}<1$$

   Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

   $$\frac{1}{5-y}+\frac{2}{1+y}<1$$

   $$\frac{1+y+2(5-y)-(5-y)(1+y)}{(5-y)(1+y)}<0$$

   $$\frac{y^2-5y+6}{(5-y)(1+y)}<0$$

   $$\frac{(y-2)(y-3)}{(5-y)(1+y)}<0$$

   Отсюда

   $$y<-1,\quad 2<y<3,\quad y>5.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

   $$\lg x<-1 \Rightarrow 0<x<0{,}1,$$

   $$2<\lg x<3 \Rightarrow 100<x<1000,$$

   $$\lg x>5 \Rightarrow x>100000.$$

2. $$\log_3(2-3^{-x})<x+1-\log_3 4$$

   $$\log_3(2-3^{-x})<\log_3 3^{x+1}-\log_3 4$$

   $$\log_3(2-3^{-x})<\log_3\frac{3^{x+1}}{4}$$

   Так как основание логарифма $$3>1$$, то

   $$2-3^{-x}<\frac{3^{x+1}}{4}.$$

   Умножим на $$4\cdot 3^x>0$$:

   $$8\cdot 3^x-4<3^{2x+1}$$

   $$3\cdot 3^{2x}-8\cdot 3^x+4>0.$$

   Пусть $$y=3^x$$. Тогда

   $$3y^2-8y+4>0$$

   $$D=64-48=16,$$

   $$y_1=\frac{8-4}{6}=\frac{2}{3},\qquad y_2=\frac{8+4}{6}=2.$$

   Следовательно,

   $$y<\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad y>2.$$

   Возвращаясь к $$x$$:

   $$3^x<\frac{2}{3}\Rightarrow x<\log_3\frac{2}{3},$$

   $$3^x>2\Rightarrow x>\log_3 2.$$

   Проверка области определения: $$2-3^{-x}>0 \Rightarrow x>\log_3\frac12.$$

3. $$\log_{x^2-3}(4x+7)>0$$

   Для логарифма с основанием $$x^2-3$$ нужно:

   $$x^2-3>0,\qquad x^2-3\ne 1,\qquad 4x+7>0.$$

   Так как $$\log_a b>0$$ при $$a>1$$ и $$b>1$$, а при $$0<a<1$$ и $$0<b<1$$, рассмотрим случаи.

   1) $$x^2-3>1$$, то есть $$x<-2$$ или $$x>2.$$

   Тогда нужно $$4x+7>1,$$ откуда $$x>-\frac{3}{2}.$$

   Пересечения нет при $$x<-2,$$ а при $$x>2$$ получаем решение $$x>2.$$

   2) $$0<x^2-3<1,$$ то есть $$\sqrt3<|x|<2.$$

   Тогда нужно $$0<4x+7<1,$$ откуда

   $$-\frac{7}{4}<x<-1{,}5.$$

   С учётом $$\sqrt3<|x|<2$$ получаем

   $$-\frac{7}{4}<x<-\sqrt3.$$

4. $$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt6-2x)<0$$

   Для логарифма нужно:

   $$\frac{x-1}{5x-6}>0,\qquad \frac{x-1}{5x-6}\ne 1,\qquad \sqrt6-2x>0.$$

   Так как $$\log_a b<0$$ при $$a>1$$ и $$0<b<1,$$ либо при $$0<a<1$$ и $$b>1,$$ рассмотрим случаи.

   1) $$\frac{x-1}{5x-6}>1.$$ Тогда

   $$\frac{x-1-(5x-6)}{5x-6}>0$$

   $$\frac{5-4x}{5x-6}>0$$

   $$\frac{4x-5}{5x-6}<0.$$

   Отсюда $$\frac54<x<\frac65,$$ что не подходит вместе с $$\sqrt6-2x<1,$$ поэтому остаётся

   $$x<\frac{\sqrt6-1}{2}.$$

   2) $$0<\frac{x-1}{5x-6}<1.$$ Тогда

   $$\sqrt6-2x>1,$$

   $$x<\frac{\sqrt6-1}{2}.$$

   Совмещая с областью определения, получаем

   $$\frac65<x<\frac{\sqrt6}{2}.$$

Ответ

1) $$0<x<0{,}1,\; 100<x<1000,\; x>100000.$$

2) $$x<\log_3\frac{2}{3},\; x>\log_3 2.$$

3) $$-\frac{7}{4}<x<-\sqrt3,\; x>2.$$

4) $$x<\frac{\sqrt6-1}{2},\; \frac65<x<\frac{\sqrt6}{2}.$$