Упр.365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) Рассмотрим неравенство
$$\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}<1.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$\frac{1}{5-y}+\frac{2}{1+y}-1<0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1+y+2(5-y)-(5-y)(1+y)}{(5-y)(1+y)}<0,$$
$$\frac{y^2-5y+6}{(5-y)(1+y)}<0,$$
$$\frac{(y-2)(y-3)}{(5-y)(1+y)}<0.$$
Критические точки: $$y=-1,\;2,\;3,\;5.$$
Решение по промежуткам:
$$y<-1,\quad 2<y<3,\quad y>5.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\lg x<-1 \;\Rightarrow\; 0<x<10^{-1},$$
$$2<\lg x<3 \;\Rightarrow\; 10^2<x<10^3,$$
$$\lg x>5 \;\Rightarrow\; x>10^5.$$
Ответ: $$0<x<0{,}1,\;100<x<1000,\;x>100000.$$
2) Рассмотрим неравенство
$$\log_3(2-3^{-x})<x+1-\log_3 4.$$
Преобразуем правую часть:
$$x+1-\log_3 4=\log_3 3^x+\log_3 3-\log_3 4=\log_3\frac{3^{x+1}}{4}.$$
Тогда
$$\log_3(2-3^{-x})<\log_3\frac{3^{x+1}}{4}.$$
Так как основание $$3>1,$$ получаем
$$2-3^{-x}<\frac{3^{x+1}}{4}.$$
Положим $$y=3^x, y>0.$$ Тогда $$3^{-x}=\frac{1}{y},$$ и неравенство принимает вид
$$2-\frac{1}{y}<\frac{3y}{4}.$$
Умножим на $$4y>0$$:
$$8y-4<3y^2,$$
$$3y^2-8y+4>0,$$
$$(3y-2)(y-2)>0.$$
Отсюда
$$y<\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad y>2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$3^x<\frac{2}{3}\;\Rightarrow\; x<\log_3\frac{2}{3},$$
$$3^x>2\;\Rightarrow\; x>\log_3 2.$$
Проверим область определения:
$$2-3^{-x}>0 \;\Rightarrow\; 3^{-x}<2 \;\Rightarrow\; x>{-}\log_3 2.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$\log_3\frac{1}{2}<x<\log_3\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad x>\log_3 2.$$
Ответ: $$x\in\left(\log_3\frac{1}{2};\log_3\frac{2}{3}\right)\cup\left(\log_3 2;+\infty\right).$$
3) Рассмотрим неравенство
$$\log_{x^2-3}(4x+7)>0.$$
Для логарифма с основанием $$a>1$$ имеем $$\log_a b>0 \iff b>1.$$ Поэтому нужно учесть условия:
$$x^2-3>1,\qquad x^2-3\ne 1,\qquad 4x+7>0,$$
и само неравенство
$$4x+7>1.$$
Из $$x^2-3>1$$ получаем
$$x^2>4,\quad x<-2 \;\text{или}\; x>2.$$
Из $$4x+7>1$$ следует
$$4x>-6,\quad x>-\frac{3}{2}.$$
Пересечение условий даёт
$$x>2.$$
Ответ: $$x>2.$$
4) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt6-2x)<0.$$
Для логарифма с основанием $$a>1$$ имеем $$\log_a b<0 \iff 0<b<1.$$ Поэтому нужно:
$$\frac{x-1}{5x-6}>1,\qquad 0<\sqrt6-2x<1.$$
Решим первое неравенство:
$$\frac{x-1}{5x-6}-1>0,$$
$$\frac{x-1-5x+6}{5x-6}>0,$$
$$\frac{5-4x}{5x-6}>0,$$
$$\frac{4x-5}{5x-6}<0.$$
Отсюда
$$\frac54<x<\frac65.$$
Теперь из $$0<\sqrt6-2x<1$$ получаем
$$x<\frac{\sqrt6}{2},$$
$$x>\frac{\sqrt6-1}{2}.$$
Пересекаем все условия:
$$\frac65<x<\frac{\sqrt6}{2}.$$
Ответ: $$x\in\left(\frac65;\frac{\sqrt6}{2}\right).$$
