Упр.364 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{0,2}^{2}(x)-5\log_{0,2}(x)<-6$$
2. $$\log_{0,1}^{2}(x)+3\log_{0,1}(x)>4$$

1) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,2}^2 x-5\log_{0,2}x<-6.$$

Перенесём всё в левую часть и сделаем замену $$t=\log_{0,2}x.$$ Тогда получаем

$$t^2-5t+6<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)<0.$$

Отсюда

$$2<t<3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2<\log_{0,2}x<3.$$

Так как основание $$0,2<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$0,2^3<x<0,2^2.$$

Следовательно,

$$0,008<x<0,04.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,1}^2 x+3\log_{0,1}x>4.$$

Перенесём всё в левую часть и сделаем замену $$t=\log_{0,1}x.$$ Тогда

$$t^2+3t-4>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+4\right)\left(t-1\right)>0.$$

Отсюда

$$t<-4 \quad \text{или} \quad t>1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{0,1}x<-4 \quad \text{или} \quad \log_{0,1}x>1.$$

Так как $$0,1<1,$$ получаем

$$x>0,1^{-4}=10000 \quad \text{или} \quad x<0,1^1=0,1.$$

С учётом области определения $$x>0$$ имеем

$$0<x<0,1 \quad \text{или} \quad x>10000.$$

Ответ

1) $$x\in(0,008;0,04).$$
2) $$x\in(0;0,1)\cup(10000;+\infty).$$