Упр.363 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{0,2}(x)-\log_{5}(x-2)<\log_{0,2}(3)$$
2. $$\lg x-\log_{0,1}(x-1)>\log_{0,1}(0,5)$$

1) Рассмотрим неравенство

$$\log_{0,2}x-\log_{5}(x-2)<\log_{0,2}3.$$

Так как $$5=(0,2)^{-1},$$ то

$$\log_{5}(x-2)=-\log_{0,2}(x-2).$$

Тогда

$$\log_{0,2}x+\log_{0,2}(x-2)<\log_{0,2}3,$$

$$\log_{0,2}\bigl(x(x-2)\bigr)<\log_{0,2}3.$$

Поскольку $$0,2<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$x(x-2)>3.$$

Получаем

$$x^2-2x-3>0,$$

$$(x-3)(x+1)>0.$$

С учётом области определения:

$$x>0,\quad x-2>0,$$

то есть $$x>2.$$

Из решения квадратного неравенства имеем $$x<-1$$ или $$x>3,$$ а с учётом ОДЗ остаётся

$$x>3.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\lg x-\log_{0,1}(x-1)>\log_{0,1}0,5.$$

Так как $$0,1=10^{-1},$$ то

$$\log_{0,1}(x-1)=-\lg(x-1),\qquad \log_{0,1}0,5=-\lg 0,5=\lg 2.$$

Тогда

$$\lg x+\lg(x-1)>\lg 2,$$

$$\lg\bigl(x(x-1)\bigr)>\lg 2.$$

Поскольку основание логарифма $$10>1,$$ получаем

$$x(x-1)>2,$$

$$x^2-x-2>0,$$

$$(x-2)(x+1)>0.$$

С учётом области определения:

$$x>0,\quad x-1>0,$$

то есть $$x>1.$$

Из решения квадратного неравенства имеем $$x<-1$$ или $$x>2,$$ а с учётом ОДЗ остаётся

$$x>2.$$

Ответ: 1) $$x>3$$; 2) $$x>2$$.