Упр.362 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\log_{\frac{1}{3}}\log_2(x^2)>0$$
- $$\log_3\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)<1$$
1) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac13}\log_2 x^2>0.$$
Так как $$\frac13<1,$$ то
$$\log_2 x^2<1.$$
При этом выражение должно иметь смысл:
$$\log_2 x^2>0.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} \log_2 x^2<1,\\ \log_2 x^2>0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} x^2<2,\\ x^2>1 \end{cases}$$
Отсюда
$$1<x^2<2,$$
то есть
$$x\in(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2).$$
2) Рассмотрим неравенство $$\log_3\log_{\frac12}(x^2-1)<1.$$
Так как $$1=\log_3 3,$$ а $$3>1,$$ то
$$\log_{\frac12}(x^2-1)<3.$$
При этом область определения задаётся условием
$$x^2-1>0.$$
Так как $$\frac12<1,$$ получаем
$$\log_{\frac12}(x^2-1)<\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^3,$$
то есть
$$x^2-1>\frac18.$$
Следовательно,
$$x^2>\frac98,$$
откуда
$$x<-\frac{3}{2\sqrt2}\quad \text{или}\quad x>\frac{3}{2\sqrt2}.$$
С учётом области определения $$x^2-1>0$$ получаем окончательно:
$$x\in\left(-\sqrt2;-\frac{3}{2\sqrt2}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt2};\sqrt2\right).$$
Ответ
1) $$x\in(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2).$$
2) $$x\in\left(-\sqrt2;-\frac{3}{2\sqrt2}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt2};\sqrt2\right).$$
